2진수와 표기법

1*10^2 + 2*10^1 + 8*10^0 = 128

8진수 144 => 1*8^2 + 4*8^1 + 4*8^0 =  (10진수 100)

16진수 64 => 6*16^1 + 4*16^0 = (10진수 100)

2진수 1100100 => 1*64 + 1*32 + 0*16 + 0*8 + 1*4 + 0*2 + 0*1 = (10진수 100)

->컴퓨터에서 16진수나 10진수를 쓰는 이유는? 2진수를 쓰고 싶으나 숫자가 너무 커지면 관리하기 어렵기 때문에

<정수 리터럴>

10진수 : 일반적으로 값을 알려주고싶을 때 사용.

8진수 : 코드에서는 거의 사용하지 않는다.

2진수 : 메모리 상태를 알려주고싶을 때 사용.

16진수 : 2진수로 표기할 시, 너무 길어지기때문에 주로 16진수로 표기.

• 코드 작성 시에는 주로 10진수로 표기.

• 간혹 메모리 상태에 집중하라고 강조하고싶을 때 2진수 사용.

정수를 표기할 때 크기에 따라 표기 방법이 다르다. 그냥 작성 시 4바이트 크기의 정수를 의미함.

표현가능한 수 : 2n-1, n은 자릿수. ex) = 8이고 -1하면 7이므로 3비트로

표현할 수 있는 크기인 7임.

4바이트(32bit) 메모리가 표현 가능한 수

• 양수 : 2147483647

• 음수 : -2147483648

이 이상의 수를 표기하려하면 컴파일에러가 나는데 이는 메모리가 넘치기 때문이며 표현하기 위해서는 8바이트 크기로 만들어주면 된다. (숫자 마지막에 L이나 l 추가)

8바이트(64bit) 메모리가 표현 가능한 수

• 자바에서는 각 데이터 유형에 따라 최소/최대값을 알아볼 수 있는 특별한 명령을 제공. => Integer.MAX_VALUE, Integer.MIN_VALUE etc.. Integer부분은 데이터타입 부분.

• 양수 : 9223372036854775807

• 음수 : -9223372036854775808

즉, 다음과 같은 차이점을 가진다.

100 : 4 byte

100L : 8 byte

<자릿수 표기>

자릿수표기는 _를 사용하여 읽기 쉽도록 자릿수를 표시할 수 있다. 작성하는 위치는 개발자 마음대로.

단 표기할 숫자 맨앞에 위치할 수는 없다.

<자바가 정수 리터럴을 메모리에 저장하는 방법>

정수를 2진수로 표현한다. 이하 그 방법.

1. 부호-크기/절대값(Sign-Magnitude)

맨 왼쪽의 1비트를 부호(Sign)로 사용한다. ( 0 : 양수, 1: 음수 )

2번째 비트부터는 절대값(Magnitude)을 저장한다.

즉, 8비트인 경우 부호 1비트 + 절대값 7비트로 구성된다.

단, 문제로는 양의 0, 음의 0의 총 2개의 0이 존재하고 양수와 음수의 덧셈 시 잘못된 값이 나온다.

(8비트기준 0000 0000, 1000 0000) / (0001 + 1001) (1 +(-1))= 1010 (-2)

           ->사인 매그니 튜드 방법은 에러가 난다

      2) 1의 보수 - 결과값의 비트를 반대로 바꾸는 방법.

모든 비트를 반대값으로 바꾸는 방법. 음수를 쉽게 계산하는 방법은 양수로 구한 후 뒤집기.

하지만 이것도 두 개의 0이 있는 문제점을 갖고 두 수를 더한 후 비트크기를 초과한 1값을 다시 더해야한다.

           ( 정상값에서 1이 부족한 형태로 반환되기에)

       3) 2의 보수

1의 보수의 결과에 미리 1을 더해 계산하는 방법으로 음수 0을 제거한 방법.

최대비트수를 넘어서는 올림값이 발생하는 경우 그 값은 버린다.

방법 1 : 모든 비트를 반대값으로 만든 후 1을 더한다. (1의 보수에 +1하는 방법)

 0010 1001 => 1101 0110 +1 : 1101 0111

방법 2 : 오른쪽에서부터 1을 찾는다. 그 후 찾은 1의 왼쪽편에 있는 모든 비트를 반대값으로 만듬.

 0010 1001인 경우 : 마지막이 1이므로 마지막 1을 제외한 모든 수를 뒤집는다.

         =>1101 0111이 된다.

방법 3 : 2^n에서 음수의 값만큼을 제한다.

 찾으려는 값이 8비트 -41인 경우 : 28 = 256이므로 256 -41 : 215

 이진화는 10진수(여기선 215)를 이진수로 만들듯이 하면 된다.

 이진화된 값은 1101 0111이며 이는 1*107+1*106+1*104+1*102+1*101+1*100임

         4) K 초과

 표현하려는 값에 K(bias)를 더하는 방법. 바이어스는 K=2n-1로 구한다.

 8bit인 경우 K = 28-1=27 = 128, 결과는 K + V이다. ( V는 찾으려는 값)

 128 + 127 = 255 => 1111 1111

 128 + 126 = 254 => 1111 1110

 128 + 125 = 253 => 1111 1101

…

 128 + 1 = 129 => 1000 0001

 128 + 0 = 128 => 1000 0000 // 음수 0

 128 + (-1) = 127 => 0111 1111

…

 128 + (-126) = 2 => 0000 0010        

 128 + (-127) = 1 => 0000 0001

 128 + (-128) = 0 => 0000 0000 // 양수 0

 이것도 10진수를 2진화하듯이 하면 된다.

• 정수를 저장할 때 2의 보수 방법을 사용

• 부동소수점 저장

• 가수부 : ‘Sign-Magnitude’

• 지수부 : ‘Excess-K’

1000 0001

0000 1111

<부동소수점 표현>

• 소수점의 위치를 움직인다하여 “부동소수점”이라고 한다.

• 유효자리수

1. Exponential

숫자e지수 로 표현한다. ex) 0.0314e2 => 0.0314 * 102, - 314e-2 => 0.314 * 10-2, 같은 표현

<부동소수점이 메모리에 저장되는 원리 >

• 어떤 값이든 2진수로 표현할 수 있다면 메모리에 bit로 저장할 수 있다.

• 부동소수점을 2진수로 변환하는 것 : 정규화, 표현하는 법칙을 정의한 문서 : IEEE-754

<IEEE-754>

• 부동소수점을 32비트와 64비트로 표현하는 방법에 대해 정의.

• 32비트 표현 방법 : 단정도(Single-precision)

[ 부호비트(1) ] [ 지수부(8) ] [ 가수부(23) ] = 총 32bit

• 64비트 표현 방법 : 배정도(Double-precision)

[ 부호비트(1) ] [ 지수부(11) ] [ 가수부(52) ] =총 64bit

• 부호비트는 양수 0, 음수 1로 표기한다.

• 지수부는 2의 지수값에 127을 더한 값을 사용한다.

• 가수부는 single-magnitude 방식으로 저장하며 소수점을 기준으로 우측값만 사용한다.

만약 남는 비트가 있다면 0으로 채워넣는다.

부	정규화방법
지수	소수점 기준 왼쪽값은 10진수를 2진수화한다. ex) 12  = 1100
가수	소수점 기준 우측값을 2로 곱하여 나온 결과에서 정수부만을 차례대로 표기. ex) 0.375 0.375 * 2 => 0.75, 정수부가 0이므로 0, 소수점 첫째자리 제거 0.75 * 2 => 1.5, 정수부가 1이므로 1, 소수점 첫째자리 제거 0.5 * 2 => 1.0, 정수부가 1이므로 1, 소수점 첫째자리 제거      위에서 나온 숫자를 차례대로 기술하면 011이 되며, 결과값은 0. 011이 된다.
정규화	소수점의 위치를 조정하여 가수부와 지수부를 분리한다. IEEE 754 명세는 다음과 같은 형식으로 가수부와 지수부를 나눈다. 1.x1x2x3x4...x23(2진수) * 2^e처럼 소수점 왼쪽에 1만 남도록 소수점을 이동한다. 소수점 왼쪽은 무조건 1이기 때문에 저장하지 않고 버린다. 따라서 소수점 오른쪽 수만 가수부에 놓는다. 즉 x1, x2 등은 가수부 1번 비트부터 23번 비트까지를 의미한다. 23번 비트까지 채우지 못하면 나머지 비트는 0으로 채운다. ex) 1100.011(2진수)가 있을 때, 왼쪽에는 1만 남겨두기 위해 소수점을 왼쪽으로 3번 이동시킨다. = 1.100011(2진수)*23 왼쪽에 1만 남았기때문에 소수점 왼쪽은 전부 버린다. 이로 생성된 가수부는 소수점 오른쪽인 100011(2진수)이다. 지수부는 10진수로 이동횟수에 바이어스값을 더한 뒤 10진수를 2진화한다. 지수부의 최대 비트수까지 다 채우며, 만약 채울 값이 없는 경우 0으로 마저 채운다. 생성된 지수부 : 3 + 127(bias) = 130(10진수) = 10000010(2진수) Q. 바이어스는 왜 127인가? 고정값인가?

32비트(4바이트) - 7자리까지는 거의 저장 가능. - 단정도

64비트(8바이트) - 15자리까지는 거의 저장 가능. - 배정도

• 부동소수점은 연산 중 해당 자료형이 처리할 수 있는 표현범위 이상의 자릿수가 결과값으로 나올경우 컴파일 할 때 에러가 나지 않고 값만 잘리기에 조심해야 함.

• IEEE-754 규격에 따라 부동소수점을 2진수로 바꾸다보면 정확하게 2진수로 떨어지지않는 경우가 있는데 이것은 컴퓨터나 컴파일러, JVM 등의 문제가 아닌 IEEE-754의 문제.

• 해결하기 위해서는 시스템에서 필요한만큼 소수점 이하 자릿수를 적절히 잘라서 사용해야한다.

<문자 리터럴>

• 소스코드에 10진수가 아닌 16진수가 있다면 그건 개발자가 의도적으로 값이 아닌 2진수를 강조하기위함.

    ex) System.out.println(0x41);

• (이어서) 해당 숫자가 단순한 정수값이 아닌 문자코드값임을 알려주면 출력메소드는 그 문자 코드에 해당하는 문자를 폰트파일에서 찾아 출력한다.                                                                  

     ex) System.out.println((char) 0x41);

• 문자의 코드값을 알고있을 경우 코드값을 통해 문자를 출력할 수 있다.

• 모를 때는 특별한 기호(‘ ‘)를 사용하여 문자를 표기. => int로 강제캐스팅하면 코드값꺼냄

• 특수문자를 입력할 수 없는 경우 작은따옴표 사이에 특수문자의 유니코드값을 넣어도 된다. 단, 코드값 앞에는 \u를 붙여야 한다.

• 문자 : 2byte 사용, 음수가 없기 때문에 0부터 65535까지의 크기를 가짐.

<논리 리터럴>

• true, false 두 개의 상태를 가진다.

• 비교 연산의 결과는 논리값.

• 개별적으로 논리값을 표현할 때는 4바이트 메모리에 보관.

• 여러 개의 논리값을 배열에 보관할 때는 각 논리값을 1바이트 메모리에 보관.